向量的叉乘，也称为向量的外积或向量积，是一种在向量空间中定义的二元运算。对于两个三维向量 \（\mathbf{a} = （a_x, a_y, a_z）\） 和 \（\mathbf{b} = （b_x, b_y, b_z）\），它们的叉乘 \（\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}\） 是一个新的向量，其分量由以下公式给出：
\[
\mathbf{c} = （c_x, c_y, c_z） = （a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x）
\]
叉乘的性质
反交换律 ：\（\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}\），即交换两个向量的顺序，结果向量的方向会相反。分配律
\（\mathbf{a} \times （\mathbf{b} + \mathbf{c}） = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}\）
\（（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}\）
与零向量的叉乘：
\（\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}\），任何向量与零向量的叉乘结果都是零向量。
模的性质
\（|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \sin \theta\），其中 \（\theta\） 是向量 \（\mathbf{a}\） 和 \（\mathbf{b}\） 之间的夹角。
方向的性质：
叉乘的结果向量的方向由右手定则确定。具体地，将右手的四指从第一个向量 \（\mathbf{a}\） 指向第二个向量 \（\mathbf{b}\），则大拇指的方向就是叉乘结果向量 \（\mathbf{a} \times \mathbf{b}\） 的方向。
叉乘的应用
计算面积：
叉乘结果向量 \（\mathbf{c}\） 的模长表示原始两个向量所围成的平行四边形的面积。
确定方向：
叉乘结果向量的方向垂直于原始两个向量所围成的平面，可以用右手定则来确定其正方向。
物理应用：
在物理学中，叉乘常用于计算力矩、电磁场等。
计算机图形学：
在计算机图形学中，叉乘用于计算旋转矩阵和光照效果等。
示例
假设有两个向量 \（\mathbf{a} = （1, 2, 3）\） 和 \（\mathbf{b} = （4, 5, 6）\），则它们的叉乘为：
\[
\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left（ 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \right） = （-3, 6, -3）
\]
因此，向量 \（\mathbf{a}\） 和 \（\mathbf{b}\） 的叉乘结果是 \（（-3, 6, -3）\）。
