向量的数量积（也称为点积或内积）的坐标运算公式如下：
二维空间
设向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和向量 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$，则它们的数量积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
$$
三维空间
设向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1, z_1）$ 和向量 $\mathbf{b} = （x_2, y_2, z_2）$，则它们的数量积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2
$$
解释
定义：向量的数量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$，其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。
坐标表示：通过将向量的数量积展开为两个向量的坐标表示相乘后再求和，可以方便地进行计算。在二维和三维空间中，这个公式分别简化为两个分量和三个分量的乘积之和。
性质
交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
数乘结合律：$（\lambda \mathbf{a}） \cdot \mathbf{b} = \lambda （\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}）$
分配律：$（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$
零向量：若 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ 或 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$
垂直性：若 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$，则 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$
这些性质在处理向量运算时非常有用，可以帮助简化计算并揭示向量之间的几何关系。
