标准正态分布函数，也称为Z函数或标准正态分布累积分布函数（CDF），表示随机变量X小于或等于某个值x的概率。对于标准正态分布，其均值μ为0，标准差σ为1。标准正态分布函数的数学表达式为：
\[
\Phi（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
\]
这个积分表示从负无穷大到x的累积概率。标准正态分布的概率密度函数（PDF）为：
\[
f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
\]
标准正态分布的一些关键性质包括：
1. 密度函数关于平均值（即均值）对称。
2. 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
3. 函数曲线的反曲点为离平均数一个标准差距离的位置。
4. 平均值与它的众数以及中位数同一数值。
5. 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。
标准正态分布函数在统计学、概率论以及许多其他领域有着广泛的应用，例如在质量控制、金融分析、社会科学研究等。标准正态分布表或Z表通常用于查找特定Z值下的累积概率。
