抛物线顶点坐标的公式如下：
一般式 ：对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$），其顶点坐标为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。顶点式：
抛物线的顶点式为 $y = a（x - h）^2 + k$，其中顶点坐标为 $（h, k）$。由于 $h = -\frac{b}{2a}$ 和 $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$，因此顶点坐标也可以表示为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。
示例
假设抛物线的方程为 $y = 2x^2 - 4x + 1$，我们可以通过上述公式计算其顶点坐标：
一般式
$a = 2$
$b = -4$
$c = 1$
顶点横坐标 $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$
顶点纵坐标 $k = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \times 2 \times 1 - （-4）^2}{4 \times 2} = \frac{8 - 16}{8} = -1$
因此，顶点坐标为 $（1, -1）$。
顶点式
将一般式 $y = 2x^2 - 4x + 1$ 化为顶点式：
$$
y = 2（x^2 - 2x） + 1 = 2（x^2 - 2x + 1 - 1） + 1 = 2（x - 1）^2 - 1
$$
因此，顶点坐标为 $（1, -1）$。
通过这两种方法，我们可以确认抛物线 $y = 2x^2 - 4x + 1$ 的顶点坐标为 $（1, -1）$。
