根号下1加x平方的积分可以通过多种方法求解，以下是几种常见的方法：
方法一：换元法
令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且 $\sqrt{1 + x^2} = \sec t$。代入原积分得：
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sec t \cdot \sec^2 t \, dt = \int \sec^3 t \, dt
$$
通过分部积分法，我们有：
$$
\int \sec^3 t \, dt = \sec t \tan t - \int \tan^2 t \sec t \, dt = \sec t \tan t - \int （\sec^2 t - 1） \sec t \, dt = \sec t \tan t - \int \sec^3 t \, dt + \int \sec t \, dt
$$
整理得：
$$
2 \int \sec^3 t \, dt = \sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|
$$
所以：
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| + C = \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2} \ln|x + \sqrt{1 + x^2}| + C
$$
方法二：分部积分法
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = x \sqrt{1 + x^2} - \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx
$$
$$
= x \sqrt{1 + x^2} - \int \sqrt{1 + x^2} - 1 \, dx = x \sqrt{1 + x^2} - \int \sqrt{1 + x^2} \, dx + \int 1 \, dx
$$
整理得：
$$
2 \int \sqrt{1 + x^2} \, dx = x \sqrt{1 + x^2} + \ln|x + \sqrt{1 + x^2}|
$$
所以：
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2} \ln|x + \sqrt{1 + x^2}| + C
$$
方法三：三角代换法
令 $x = \tan \alpha$，则 $dx = \sec^2 \alpha \, d\alpha$，且 $\sqrt{1 + x^2} = \sec \alpha$。代入原积分得：
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sec \alpha \cdot \sec^2 \alpha \, d\alpha = \int \sec^3 \alpha \, d\alpha
$$
通过分部积分法，我们有：
$$
\int \sec^3 \alpha \, d\alpha = \sec \alpha \tan \alpha - \int \tan^2 \alpha \sec \alpha \, d\alpha = \sec \alpha \tan \alpha - \int （\sec^2 \alpha - 1） \sec \alpha \, d\alpha
$$
$$
= \sec \alpha \tan \alpha - \int \sec^3 \alpha \, d\alpha + \int \sec \alpha \, d\alpha
$$
整理得：
$$
2 \int \sec^3 \alpha \, d\alpha = \sec \alpha \tan \alpha + \ln|\sec \alpha + \tan \alpha|
$$
所以：
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \sec \alpha \tan \alpha + \frac{1}{2} \ln|\sec \alpha + \tan \alpha| + C = \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2} \ln|x + \sqrt{1 + x^2}| + C
$$
结论
无论采用哪种方法，根号下1加x平方的积分结果均为：
$$
\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{
