完全立方公式包括完全立方和公式和完全立方差公式，具体如下：
完全立方和公式
\[
（a + b）^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]
完全立方差公式
\[
（a - b）^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]
推导过程
完全立方和公式的推导
乘法分配律
\[
（a + b）^3 = （a + b）（a + b）（a + b）
\]
展开第一个括号
\[
（a + b）^3 = （a^2 + ab + ab + b^2）（a + b）
\]
展开第二个括号
\[
（a + b）^3 = （a^2 + 2ab + b^2）（a + b）
\]
再次使用乘法分配律
\[
（a + b）^3 = a^3 + a^2b + a^2b + ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^2b
\]
合并同类项
\[
（a + b）^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]
完全立方差公式的推导
平方差公式
\[
a^2 - b^2 = （a + b）（a - b）
\]
立方差公式
\[
a^3 - b^3 = （a - b）（a^2 + ab + b^2）
\]
应用
完全立方公式在数学中有广泛的应用，例如在几何中计算立方体体积、求解相关几何问题，以及在代数中快速计算立方数的和与差。
示例
计算 （x + y）^3
\[
（x + y）^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
\]
计算 （x - y）^3
\[
（x - y）^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
\]
通过这些推导和应用，我们可以更深入地理解和应用完全立方公式。
