伯努利不等式是数学中一个非常重要的不等式，它描述了当基数为正整数时，幂函数 \（（1 + x）^n\） 与线性函数 \（1 + nx\） 之间的关系。具体来说，伯努利不等式表述如下：
对于所有的自然数 \（n \geq 1\） 和所有实数 \（x > -1\），有以下两个情况：
1. 当 \（x \neq -1\） 且 \（x \neq 0\） 时，如果 \（n\） 为奇数或 \（x > 0\），则 \（（1 + x）^n > 1 + nx\）。
2. 当 \（x \neq -1\） 且 \（x \neq 0\） 时，如果 \（n\） 为偶数且 \（x < 0\），则 \（（1 + x）^n < 1 + nx\）。
特别地，当 \（n = 0\） 或 \（n = 1\） 或者 \（x = 0\） 时，等号成立。
伯努利不等式在概率论、数列极限、函数的单调性证明以及其他不等式的证明等方面有着广泛的应用。
