指数函数 \（ f（x） = a^x \） 的导数可以通过以下公式求得：
\[
（a^x）' = a^x \cdot \ln（a）
\]
其中，\（ a \） 是一个大于0且不等于1的常数，\（ \ln（a） \） 是 \（ a \） 的自然对数。
这个公式可以通过对指数函数取自然对数，然后利用链式法则和对数函数的导数来推导。具体步骤如下：
1. 设 \（ y = a^x \），则 \（ \ln（y） = x \cdot \ln（a） \）。
2. 对两边关于 \（ x \） 求导数，得到：
\[
\frac{d}{dx} （\ln（y）） = \frac{d}{dx} （x \cdot \ln（a））
\]
3. 利用链式法则，左边变为：
\[
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}
\]
4. 右边利用常数乘法规则，得到：
\[
\ln（a）
\]
5. 将两边相等，得到：
\[
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln（a）
\]
6. 解出 \（ \frac{dy}{dx} \），得到：
\[
\frac{dy}{dx} = y \cdot \ln（a） = a^x \cdot \ln（a）
\]
因此，指数函数 \（ a^x \） 的导数为 \（ a^x \cdot \ln（a） \）。
例题
1. 求 \（ y = e^{2x} \cos（3x） \） 的导数。
\[
y' = \frac{d}{dx} （e^{2x} \cos（3x）） = e^{2x} \cdot 2 \cdot \cos（3x） + e^{2x} \cdot （-3 \sin（3x）） = e^{2x} （2 \cos（3x） - 3 \sin（3x））
\]
2. 求 \（ y = a^{5x} \） 的导数。
\[
y' = \frac{d}{dx} （a^{5x}） = a^{5x} \cdot \ln（a） \cdot 5 = 5a^{5x} \cdot \ln（a）
\]
通过这些例子，可以看到指数函数求导公式的应用。
