正四面体的棱切球半径可以通过以下方式推导：
通过正四面体的面中心到顶点的距离
正四面体P-ABC的边长为a，其中D为BC的中点，E为PA的中点。
腰PD和AD的长度均为（√3/2）a，底面PA的长度为a，PE的长度为（√2/2）a。
棱切球半径等于PE的一半，即（√2/4）a。
通过正四面体的中心到顶点的距离
正四面体的中心即为外接球的球心，球心到顶点的距离即为外接球的半径。
设正四面体的棱长为a，则MN的长度为（√2a/2），球的直径为（√2a/2），半径为（√2a/4）。
通过体积法推导
正四面体的体积公式为V = （√2/12）a^3。
将正四面体沿面分割成六个小四面体，每个小四面体的体积为（√2/72）a^3。
每个小四面体都能被一个半径为r的球体完全包裹，利用球的体积公式V = （4/3）πr^3，可得（√2/72）a^3 = （4/3）πr^3，解得r = （√2/6）a/π。
通过正方体截面的性质
正四面体的棱切球半径等于正方体棱长的一半，即（√2/4）a。
通过直角三角形法
设正四面体的棱长为a，D为BC的中点，E为面ABC的中心，外接球半径为R。
AD = （√3）a/2，AE = （√3）a/3。
在RtVAE中，VE^2 = a^2 - AE^2 = （2a^2）/3，VE = （√6）a/3。
在RtAEO中，AO^2 = AE^2 + OE^2 = R^2 + （VE - R）^2，解得R = （√6）a/4。
综合以上几种方法，正四面体的棱切球半径为（√2/4）a。
