求函数值域的方法有多种，包括直接法、配方法、换元法、反函数法、分离常数法、判别式法、单调性法和数形结合法等。下面是一些典型例题及其解析：
例题1：求函数 $y = 3 + 2^{-3x}$ 的值域
解析：
1. 根据算术平方根的性质，$2^{-3x} \geq 0$。
2. 因此，$y = 3 + 2^{-3x} \geq 3$。
3. 所以，函数的值域为 $[3, +\infty）$。
例题2：求函数 $y = [x]$（其中 $0 \leq x \leq 5$）的值域
解析：
1. 在区间 $[0, 5]$ 上，$[x]$ 的取值分别为 $0, 1, 2, 3, 4, 5$。
2. 因此，函数的值域为 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$。
例题3：求函数 $y = 3x + 2$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的值域
解析：
1. 由于 $-1 \leq x \leq 1$，则 $-3 \leq 3x \leq 3$。
2. 因此，$-1 \leq 3x + 2 \leq 5$。
3. 所以，函数的值域为 $[-1, 5]$。
例题4：求函数 $y = 2x - 1$ 的值域
解析：
1. 由于 $x$ 取遍所有实数，$2x$ 可以取遍所有实数。
2. 因此，$2x - 1$ 也可以取遍所有实数。
3. 所以，函数的值域为 $\mathbb{R}$。
例题5：求函数 $y = x^2 - 4x + 1$ 在区间 $[3, 4]$ 上的值域
解析：
1. 将函数配成完全平方形式：$y = （x - 2）^2 - 3$。
2. 在区间 $[3, 4]$ 上，$（x - 2）^2$ 的取值范围为 $[1, 4]$。
3. 因此，$y = （x - 2）^2 - 3$ 的取值范围为 $[-2, 1]$。
4. 所以，函数的值域为 $[-2, 1]$。
例题6：求函数 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 的值域
解析：
1. 由于 $x^2 \geq 0$，则 $1 - x^2 \leq 1$。
2. 因此，$\sqrt{1 - x^2} \leq 1$。
3. 又因为 $\sqrt{1 - x^2} \geq 0$。
4. 所以，函数的值域为 $[0, 1]$。
例题7：求函数 $y = \sin（x + \beta）$ 的值域
解析：
1. 由于 $\sin$ 函数的值域为 $[-1, 1]$。
2. 因此，$y = \sin（x + \beta）$ 的值域也为 $[-1, 1]$。
例题8：求函数 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ 的值域
解析：
1. 由于 $x^2 \geq 0$，则 $x^2 + 1 \geq 1$。
2. 因此，$\frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$。
3. 又因为 $\frac{1}{x^2 + 1} > 0$。
4. 所以，函数的值域为 $（0, 1]$。
例题9：求函数 $y = \ln（2x + 3） + x^2$ 在区间 $[-3, 4]$ 上的最大值和最小值
解析：
1. 令 $t = 2x + 3$，则 $t$ 在区间 $[-3, 4]$ 上的取值范围为 $[-3, 11]$。
2. 函数变为 $y = \ln t + t^2$。
3. 求导得 $y' = \frac{1}{t} + 2t$，在区间 $[-3, 4]$ 上，$y
