平方平均数大于算术平均数的证明可以通过以下几种方法：
直接证明法
利用完全平方式，我们有：
\[
（a+b）^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
\[
（a-b）^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]
因为平方总是非负的，即：
\[
（a-b）^2 \geq 0
\]
所以：
\[
a^2 + b^2 - 2ab \geq 0
\]
从而得到：
\[
a^2 + b^2 \geq 2ab
\]
由此可以推导出平方平均数大于等于算术平均数。
柯西不等式法
根据柯西不等式，对于任意两个实数 \（a\） 和 \（b\），有：
\[
（a^2 + b^2）（1^2 + 1^2） \geq （a \cdot 1 + b \cdot 1）^2
\]
简化后得到：
\[
a^2 + b^2 \geq 2ab
\]
因此，平方平均数（即 \（\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\））大于等于算术平均数（即 \（\frac{a + b}{2}\））。
基本不等式法
根据基本不等式，对于任意两个正实数 \（a\） 和 \（b\），有：
\[
\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2}
\]
进一步，算术平均数大于等于几何平均数，几何平均数大于等于调和平均数，从而可以推导出平方平均数大于等于算术平均数。
综上所述，通过以上几种方法，我们可以得出平方平均数大于算术平均数的结论。
