标准正态分布的概率密度函数公式为：
\[ f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{（x-\mu）^2}{2\sigma^2}} \]
其中：
\（ \mu \） 是正态分布的期望值，决定了分布的位置；
\（ \sigma \） 是正态分布的标准差，决定了分布的宽度；
\（ x \） 是随机变量；
\（ \pi \） 是圆周率，约等于 3.14159。
对于标准正态分布（即均值 \（ \mu = 0 \） 且标准差 \（ \sigma = 1 \）），概率密度函数简化为：
\[ f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \]
此外，标准正态分布的分布函数（CDF）公式为：
\[ \Phi（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt \]
这个公式用于计算随机变量 \（ X \） 小于或等于 \（ x \） 的概率，即 \（ P（X \leq x） \）。
标准正态分布的一个重要特性是其对称性，即 \（ \Phi（-x） = 1 - \Phi（x） \）。这意味着标准正态分布曲线关于 \（ y \） 轴对称。
总结起来，标准正态分布的概率密度函数和分布函数公式如下：
1. 概率密度函数：
\[ f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \]
2. 分布函数：
\[ \Phi（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt \]
