收敛半径的求法主要有以下几种方法：
比值审敛法
比值审敛法是通过计算相邻两项的比值的极限来确定收敛半径。具体地，设幂级数的系数为 \（a_n\），则收敛半径 \（R\） 可以通过以下极限求得：
\[
R = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
\]
如果这个极限存在且为正数，则收敛半径 \（R\） 为该极限的倒数；如果极限为0，则收敛半径 \（R\） 为正无穷大；如果极限不存在或为无穷大，则收敛半径 \（R\） 为0。
根值审敛法
根值审敛法是通过计算系数绝对值的n次方根的极限来确定收敛半径。具体地，设幂级数的系数为 \（a_n\），则收敛半径 \（R\） 可以通过以下极限求得：
\[
R = \frac{1}{\limsup_{{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_n|}}
\]
如果这个极限存在且为正数，则收敛半径 \（R\） 为该极限的倒数；如果极限为0，则收敛半径 \（R\） 为正无穷大；如果极限不存在或为无穷大，则收敛半径 \（R\） 为0。
达朗贝尔审敛法
达朗贝尔审敛法是通过计算级数前n项和的极限来确定收敛半径。具体地，设幂级数的系数为 \（a_n\），则收敛半径 \（R\） 可以通过以下极限求得：
\[
R = \frac{1}{\rho}
\]
其中，\（\rho\） 是级数的通项 \（a_n\） 与前一项 \（a_{n-1}\） 的比值的极限，即：
\[
\rho = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{a_n}{a_{n-1}} \right|
\]
如果 \（\rho\） 是正实数，则收敛半径 \（R\） 为 \（\frac{1}{\rho}\）；如果 \（\rho\） 为0，则收敛半径 \（R\） 为正无穷大；如果 \（\rho\） 为无穷大，则收敛半径 \（R\） 为0。
实际应用中的建议
选择合适的方法：根据具体的幂级数形式和已知条件选择最合适的审敛法。对于简单的幂级数，比值审敛法或根值审敛法可能更为简便。
注意端点收敛性：在求得收敛半径后，还需要单独判断端点（如果存在）的收敛性，因为收敛半径可能不包括端点。
复数域中的考虑：对于在复数域中定义的幂级数，收敛半径的计算需要考虑整个复平面，而不仅仅是实轴。
通过以上方法，可以有效地求出幂级数的收敛半径，并进一步确定收敛域。
