泊松分布的概率分布函数（PMF）公式为：
\[ P（X = k） = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
其中：
\（ X \） 表示事件发生的次数，是一个非负整数。
\（ k \） 是具体的某一次事件发生的次数。
\（ \lambda \） 是泊松分布的参数，表示单位时间内事件的平均发生率。
\（ e \） 是自然对数的底数，约等于 2.71828。
\（ k! \） 是 \（ k \） 的阶乘，即 \（ k \times （k-1） \times \ldots \times 1 \）。
这个公式用于计算在单位时间内（或单位面积内）事件发生 \（ k \） 次的概率。泊松分布适用于描述这种随机事件的发生次数，特别是在事件发生是独立且稀有的情况下。
示例
假设某个服务系统在单位时间内平均有 3 次服务请求，即 \（ \lambda = 3 \），我们想计算在单位时间内服务请求恰好为 2 次的概率：
\[ P（X = 2） = \frac{3^2 \times e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0.049787}{2} = 0.22313046 \]
因此，在单位时间内服务请求恰好为 2 次的概率约为 0.223。
求和
泊松分布的概率分布函数对所有可能的 \（ k \） 值求和等于 1，即：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} P（X = k） = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1 \]
这个性质是泊松分布的一个重要特性，表明所有可能事件的概率之和为 1。
