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已知三角形三边求面积

已知三角形的三边长,可以使用以下方法来求面积:

海伦公式

半周长 $p = \frac{a + b + c}{2}$

面积 $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

余弦定理结合正弦定理

已知三边 $a, b, c$,设对角分别为 $A, B, C$

余弦定理:$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

正弦定理:$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$(其中 $R$ 为外接圆半径)

面积 $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ab\sqrt{1 - \cos^2 C} = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}$

内切圆半径法

内切圆半径 $r$:$r = \frac{S}{p} = \frac{a + b + c}{2r}$

面积 $S = \frac{1}{2}(a + b + c)r$,由于 $r$ 可由三边长计算得出,因此这也是一种有效的方法

外接圆半径法

外接圆半径 $R$:$R = \frac{abc}{4S}$

面积 $S = \frac{abc}{4R}$,同样地,$R$ 可由三边长计算得出

这些方法都可以用来计算已知三边的三角形面积,选择哪种方法可以根据具体情况和个人习惯。

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