托勒密定理的证明可以通过多种方法进行，以下是其中三种证明方法：
方法一：相似三角形法
1. 设四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于点P。
2. 过点C作线段CP垂直于BD于点P，使得∠1=∠2，∠3=∠4。
3. 由于∠ACB=∠DCP和∠5=∠6，根据相似三角形的性质，可以得到△ACD∽△BCP和△ACB∽△DCP。
4. 根据相似三角形的边长比例关系，可以得到：
AC·DP = AB·CD （由△ACD∽△BCP得出）
AC·BP = AD·BC （由△ACB∽△DCP得出）
5. 将上述两式相加，得到：
AC（BP + DP） = AB·CD + AD·BC
即 AC·BD = AB·CD + AD·BC
方法二：代数法
1. 设四边形ABCD的顶点坐标分别为A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），D（x4, y4）。
2. 对角线AC和BD的长度分别为：
AC = √（（x1-x3）² + （y1-y3）²）
BD = √（（x2-x4）² + （y2-y4）²）
3. 对边AB和CD的长度分别为：
AB = √（（x1-x2）² + （y1-y2）²）
CD = √（（x3-x4）² + （y3-y4）²）
4. 对边AD和BC的长度分别为：
AD = √（（x1-x4）² + （y1-y4）²）
BC = √（（x2-x3）² + （y2-y3）²）
5. 根据托勒密定理，需要证明：
AC·BD = AB·CD + AD·BC
6. 将上述长度代入，得到：
（x1-x3）（x2-x4） + （y1-y3）（y2-y4） = （x1-x2）（x3-x4） + （y1-y2）（y3-y4）
7. 展开并化简，最终可以得到上述等式成立。
方法三：复数法
1. 设四边形ABCD的顶点坐标分别为A（a）, B（b）, C（c）, D（d）。
2. 对角线AC和BD的长度分别为：
AC = |a-c|
BD = |b-d|
3. 对边AB和CD的长度分别为：
AB = |a-b|
CD = |c-d|
4. 对边AD和BC的长度分别为：
AD = |a-d|
BC = |b-c|
5. 根据托勒密定理，需要证明：
AC·BD = AB·CD + AD·BC
6. 将上述长度代入，得到：
（a-c）（b-d） = （a-b）（c-d） + （a-d）（b-c）
7. 展开并化简，最终可以得到上述等式成立。
结论
通过上述三种方法，我们可以证明托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积。
