向量垂直和平行的公式如下：
向量平行公式
二维平面：若向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$ 平行，则存在常数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$，即 $x_1 = \lambda x_2$ 且 $y_1 = \lambda y_2$。
三维空间：若向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1, z_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2, z_2）$ 平行，则存在常数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$，即 $x_1 = \lambda x_2$，$y_1 = \lambda y_2$ 且 $z_1 = \lambda z_2$。
向量垂直公式
二维平面：若向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$ 垂直，则它们的数量积为0，即 $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$。
三维空间：若向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1, z_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2, z_2）$ 垂直，则它们的点积为0，即 $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$。
这些公式是向量平行和垂直的基本判定方法，适用于二维和三维空间中的向量。通过这些公式，可以方便地判断两个向量之间的关系。
