不定积分的导数就是原函数。如果你有一个函数 \（ f（x） \），那么它的不定积分（也称为原函数）记作 \（ F（x） + C \），其中 \（ C \） 是任意常数。根据微积分的基本定理，对 \（ F（x） + C \） 求导将得到 \（ f（x） \）。
例子
假设 \（ f（x） = x^2 \），那么它的不定积分是：
\[ F（x） = \frac{1}{3}x^3 + C \]
对 \（ F（x） \） 求导，我们得到：
\[ \frac{d}{dx} \left（ \frac{1}{3}x^3 + C \right） = x^2 \]
这符合我们的预期，因为 \（ f（x） = x^2 \）。
不定积分换元公式
如果积分中的变量 \（ x \） 被替换为 \（ \varphi（t） \），并且 \（ \varphi'（t） \neq 0 \），那么积分保持不变，即：
\[ \int f（x） \, dx = \int f[\varphi（t）] \varphi'（t） \, dt \]
这里 \（ t = \varphi^{-1}（x） \）。
和的线性法则
对于两个函数 \（ f \） 和 \（ g \） 的不定积分，有：
\[ \int （k_1 f + k_2 g） \, dx = k_1 \int f \, dx + k_2 \int g \, dx \]
其中 \（ k_1 \） 和 \（ k_2 \） 是任意常数。
总结
不定积分的导数就是原函数。
微积分基本定理说明了不定积分和导数之间的关系。
换元法则是处理积分变量替换时的一个工具。
和的线性法则允许我们分解复杂函数的积分。
