在概率论中，常用的积分公式主要包括以下几类：
概率密度函数积分公式
概率密度函数（Probability Density Function, PDF）描述了随机变量的概率分布。对其积分可以得到概率分布函数（Probability Distribution Function, PDF），从而求得不同区间的概率值。
例如，对于正态分布 $N（\mu, \sigma^2）$，其概率密度函数为
$$
f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{（x-\mu）^2}{2\sigma^2}}
$$
对其积分得到累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）：
$$
F（x） = \int_{-\infty}^{x} f（t） \, dt
$$
期望和方差计算公式
期望（Expectation）是衡量随机变量平均取值大小的量，方差（Variance）则描述随机变量与其期望之间的离散程度。
对于随机变量 $X$，其期望 $E（X）$ 和方差 $Var（X）$ 可以通过积分公式求得：
$$
E（X） = \int_{-\infty}^{\infty} x f（x） \, dx
$$
$$
Var（X） = E（X^2） - [E（X）]^2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f（x） \, dx - [E（X）]^2
$$
特殊分布的积分公式
正态分布积分公式：用于描述连续随机变量的分布情况，常出现在统计学及工程领域。
二项分布积分公式：描述在 $n$ 次独立的是非试验中成功的次数的概率分布。
泊松分布积分公式：描述在给定时间内发生事件的次数的概率分布，适用于很多实际情况。
指数分布积分公式：用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布，尤其在描述独立事件的稳定性方面非常有用。
卷积公式
卷积公式用于计算两个随机变量的和的概率分布。对于两个独立随机变量 $X$ 和 $Y$，其和的分布函数为：
$$
F_{X+Y}（z） = \int_{-\infty}^{\infty} F_X（x） F_Y（z-x） \, dx
$$
矩母函数
矩母函数（Moment Generating Function, MGF）是随机变量的所有矩的生成函数，可以通过积分公式求得：
$$
M_X（t） = E（e^{tX}） = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f（x） \, dx
$$
这些积分公式在概率论与数理统计中起到了至关重要的作用，帮助我们在处理连续型随机变量时，能更加便捷地进行概率计算与统计分析。建议在实际应用中，根据具体问题选择合适的积分公式，并注意公式的适用条件和积分区间。
