对称矩阵的特征值具有以下性质：
实数性：
对称矩阵的特征值都是实数。这一性质可以通过特征方程的系数都是实数以及复特征值成对出现且互为复共轭来证明。
正交性：
对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。这一性质可以通过对称矩阵的定义和特征向量的定义来证明。
特征值与特征向量的关系：
对于n阶实对称矩阵A，如果λ是A的特征值，x是对应的特征向量，则存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP = \text{diag}（\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n）$，其中$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$是A的特征值，且对应的特征向量$p_1, p_2, \ldots, p_n$构成正交矩阵P的列。
正定性：
对称矩阵具有正定性，这意味着它具有正的特征值。对称矩阵的正定性可以通过其所有特征值均为正数来证明。
特征值的和：
对称矩阵的迹（即主对角线上元素之和）等于其特征值之和。这一性质可以通过特征值的定义和矩阵迹的定义来证明。
综上所述，对称矩阵的特征值是实数，且具有正交性和正定性等特性。这些性质使得对称矩阵在数学和工程中具有广泛的应用价值。
