在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点。过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1） 证明OE=FO：
由于MN∥BC，根据平行线的性质，我们有∠OEC=∠BCE和∠OFC=∠FCG。
又因为CE和CF分别平分∠BCO和∠GCO，所以∠OCE=∠BCE和∠OCF=∠GCF。
由∠OCE=∠OEC和∠OCF=∠OFC，我们得到OE=OC和OF=OC。
因此，OE=OF。
（2） 当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形：
当O运动到AC的中点时，OA=OC，结合OE=OF，我们得到AO=CO=OE=OF。
由于四边形的对角线相等且互相平分，根据矩形的判定定理，四边形AECF是矩形。
当ABC是直角三角形，且∠ACB=90°时，在O为AC中点的条件下，四边形AECF不仅是矩形，而且对角线垂直，因此AECF是正方形。
结论
OE=FO，无论点O在AC边的哪个位置。
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。
当ABC是直角三角形且∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形。
