圆的切线方程公式推导如下：
设圆的标准方程为 \（（x - a）^{2} + （y - b）^{2} = r^{2}\），其中 \（（a, b）\） 是圆心，\（r\） 是半径。设切线的斜率为
\（k\），则切线方程可以表示为 \（y = kx + m\）。
将切线方程\（y = kx + m\） 代入圆的方程\（（x - a）^{2} + （y - b）^{2} = r^{2}\），得到：
\[
（x - a）^{2} + （kx + m - b）^{2} = r^{2}
\]
展开并整理上述方程，得到：
\[
（1 + k^{2}）x^{2} + 2（km - b）x + m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2} = 0
\]
由于切线与圆只有一个交点，因此上述方程应该只有一个解，即判别式\（\Delta\） 应该等于 0 \[ \Delta = [2（km - b）]^{2} - 4（1 + k^{2}）（m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2}） = 0 \] 化简判别式
\[
4（km - b）^{2} = 4（1 + k^{2}）（m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2}）
\]
\[
（km - b）^{2} = （1 + k^{2}）（m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2}）
\]
\[
k^{2}m^{2} - 2kmb + b^{2} = m^{2} + k^{2}m^{2} - 2k^{2}bm + k^{2}b^{2} - k^{2}r^{2}
\]
\[
-2kmb + 2k^{2}bm = k^{2}b^{2} - b^{2} - k^{2}r^{2}
\]
\[
-2kmb + 2k^{2}bm = k^{2}（b^{2} - r^{2}） - b^{2}
\]
\[
-2kmb（1 - k） = b^{2}（k^{2} - 1） - k^{2}r^{2}
\]
\[
-2kmb（1 - k） + b^{2}（1 - k） = -k^{2}r^{2}
\]
\[
（1 - k）（b^{2} - 2kmb + k^{2}r^{2}） = 0
\]
\[
（1 - k）[（b - kr）^{2} = 0]
\]
\[
1 - k = 0 \quad \text{或} \quad b - kr = 0
\]
\[
k = 1 \quad \text{或} \quad b = kr
\]
当\（k = 1\） 时，切线方程为 \（y = x + m\）。由于切线经过圆心 \（（a, b）\），所以 \（m = b - a\），则切线方程为 \（y = x + b - a\）。
当\（b = kr\） 时，切线方程为 \（y = kx + b - kr\）。由于切线经过圆心 \（（a, b）\），所以 \（b - kr = b - ka\），则切线方程为 \（y = kx\）。
综上所述，圆的切线方程为：
\[
y = kx \quad \text{或} \quad y = x + b - a
\]
