tanx的不定积分可以通过多种方法求解，以下是几种常见的方法：
换元法
令 \（u = \cos x\），则 \（du = -\sin x \, dx\）。
因此，\（\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C\）。
分部积分法
\（\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx\）。
令 \（u = \tan x\），则 \（du = \sec^2 x \, dx = （1 + \tan^2 x） \, dx\）。
令 \（dv = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx\），则 \（v = \tan x\）。
因此，\（\int \tan x \, dx = \tan x \cdot \tan x - \int \tan x \cdot （1 + \tan^2 x） \, dx\）。
这可以进一步简化为：\（\int \tan x \, dx = \tan^2 x - \int \tan x \, dx + \int \tan x \, dx\）。
最终得到：\（\int \tan x \, dx = \frac{1}{2} \tan^2 x + C\）。
凑微分法
\（\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx\）。
通过凑微分，可以得到：\（\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C\）。
综合以上几种方法，tanx的不定积分是：
\[
\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C
\]
其中 \（C\） 是积分常数。
