偏导数的基本公式是用于计算一个多变量函数相对于其中一个变量的变化率，而保持其他变量恒定。对于二元函数 \（ z = f（x, y） \），偏导数 \（ f'_x \） 表示函数对 \（ x \） 的偏导数，即：
\[ f'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f（x+h, y） - f（x, y）}{h} \]
同理，偏导数 \（ f'_y \） 表示函数对 \（ y \） 的偏导数，即：
\[ f'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f（x, y+h） - f（x, y）}{h} \]
对于简单的二元函数 \（ z = x^2 + 2xy \），其偏导数可以如下计算：
\[ f'_x = \frac{\partial}{\partial x}（x^2 + 2xy） = 2x + 2y \]
\[ f'_y = \frac{\partial}{\partial y}（x^2 + 2xy） = 2x \]
这些公式展示了如何对多元函数中的某一个变量求偏导数，而将其他变量视为常数。偏导数在向量分析和微分几何中非常有用，因为它们可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化率。
