回归方程是通过统计学方法，特别是最小二乘法，来估计两个或多个变量间关系的数学表达式。以下是求回归方程的一般步骤：
收集数据
收集与研究对象有关的数据，包括自变量（X）和因变量（Y）。
计算统计量
计算X和Y的平均值（$\bar{x}$, $\bar{y}$）。
计算X和Y的乘积之和（$\sum x_i y_i$）。
计算X的平方之和（$\sum x_i^2$）。
使用最小二乘法求回归系数
回归系数b（斜率）的计算公式为：
\[
b = \frac{\sum x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}}{\sum x_i^2 - n \bar{x}^2}
\]
回归系数a（截距）的计算公式为：
\[
a = \bar{y} - b \bar{x}
\]
得出回归方程
将求得的a和b代入回归直线方程的一般形式：
\[
y = a + bx
\]
示例
假设有样本数据：
\[
\begin{align*}
x_1 &= 1, & y_1 &= 2 \\
x_2 &= 2, & y_2 &= 4 \\
x_3 &= 3, & y_3 &= 6 \\
x_4 &= 4, & y_4 &= 8 \\
\end{align*}
\]
1. 计算平均值：
\[
\bar{x} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2.5, \quad \bar{y} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5
\]
2. 计算乘积之和和平方之和：
\[
\sum x_i y_i = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 2 + 8 + 18 + 32 = 60
\]
\[
\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
\]
3. 计算回归系数：
\[
b = \frac{60 - 4 \cdot 2.5 \cdot 5}{30 - 4 \cdot （2.5）^2} = \frac{60 - 50}{30 - 25} = \frac{10}{5} = 2
\]
\[
a = 5 - 2 \cdot 2.5 = 5 - 5 = 0
\]
4. 得出回归方程：
\[
y = 0 + 2x
\]
即：
\[
y = 2x
\]
通过以上步骤，我们得到了回归方程 \（ y = 2x \），该方程表示自变量X每增加1单位，因变量Y增加2单位。
