二项分布的期望和方差是概率论和统计学中非常重要的概念，它们分别描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数X的预期值和波动程度。
期望（Expected Value）
期望值表示在多次重复实验中，我们期望的成功次数。
对于二项分布$B（n, p）$，其期望值$E（X）$为：
$$
E（X） = n \cdot p
$$
例如，在10次抛硬币的试验中，若正面朝上的概率为0.5，那么期望得到正面朝上的次数是：
$$
E（X） = 10 \cdot 0.5 = 5
$$
方差（Variance）
方差衡量的是成功次数的波动程度，即数据偏离期望值的程度。
对于二项分布$B（n, p）$，其方差$Var（X）$为：
$$
Var（X） = n \cdot p \cdot （1 - p）
$$
例如，在10次抛硬币的试验中，若正面朝上的概率为0.5，则方差为：
$$
Var（X） = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5
$$
证明
二项分布的期望和方差可以通过以下几种方法证明：
分解法
将随机变量$X$分解成$n$个相互独立的、都服从以$p$为参数的（0-1）分布的随机变量之和：
$$
X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n, \quad X_i \sim B（1, p）, \quad i = 1, 2, \ldots, n
$$
由于每个$X_i$的期望为$p$，方差为$p（1-p）$，因此：
$$
E（X） = E（X_1 + X_2 + \cdots + X_n） = n \cdot p
$$
$$
Var（X） = Var（X_1 + X_2 + \cdots + X_n） = n \cdot p \cdot （1 - p）
$$
直接计算法
通过数学期望的定义直接计算$E（X）$和$Var（X）$：
$$
E（X） = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P（X=k） = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k \cdot p^k \cdot （1-p）^{n-k}
$$
$$
Var（X） = E（X^2） - [E（X）]^2
$$
其中，
$$
E（X^2） = \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot P（X=k） = \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot C_n^k \cdot p^k \cdot （1-p）^{n-k}
$$
通过一系列代数变换，可以证明：
$$
E（X） = n \cdot p
$$
$$
Var（X） = n \cdot p \cdot （1 - p）
$$
总结
二项分布的期望和方差分别为$E（X） = np$和$Var（X） = np（1 - p）$，这些公式在概率论和统计学中有着广泛的应用，帮助研究者分析和预测随机试验的结果。
