根据您提供的信息，您可能在寻找关于平面向量的基础知识和应用题目的解答。以下是一些关于平面向量的基础知识和应用题目的示例：
平面向量基础知识
1. 向量的基本概念
向量是有大小和方向的量，通常用粗斜体小写字母表示，如 \（ \vec{a} \）。
向量的模（长度）用 \（ | \vec{a} | \） 表示。
向量的方向可以用箭头表示，箭头的长度代表模，箭头的方向代表方向。
2. 向量的坐标表示
在二维平面中，向量 \（ \vec{a} \） 可以用坐标 \（ （x_1, y_1） \） 表示。
向量 \（ \vec{b} \） 可以用坐标 \（ （x_2, y_2） \） 表示。
3. 向量的加法和减法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
向量减法可以通过加法的逆运算实现，即 \（ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + （- \vec{b}） \）。
4. 向量的数量积（点积）
数量积的定义为 \（ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos \theta \），其中 \（ \theta \） 是 \（ \vec{a} \） 和 \（ \vec{b} \） 之间的夹角。
5. 向量的叉积（叉乘）
叉积仅适用于三维向量，结果是一个向量，其大小等于两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量。
应用题目示例
1. 已知 \（ \vec{a} = （2, -3） \） 和 \（ \vec{b} = （0, 5） \），求 \（ \vec{a} + \vec{b} \） 和 \（ \vec{a} - \vec{b} \）。
2. 已知 \（ A（2, -3）, B（0, 5） \），求线段 AB 的中点 M 的坐标。
3. 已知 \（ A（-1, 2）, B（3, 4）, P（x, y） \），且 \（ \vec{AP} = k\vec{PB} \），求 P 点的坐标。
4. 已知 \（ A（1, 2）, B（-6, x）, C（-1, 4） \） 三点共线，求 x 的值。
5. 已知 \（ | \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 2 \），且 \（ \vec{a} \） 与 \（ \vec{b} \） 的夹角为 30 度，求 \（ | \vec{a} + \vec{b} | \）。
解答示例
1. \（ \vec{a} + \vec{b} = （2+0, -3+5） = （2, 2） \）
2. \（ M = （\frac{2+0}{2}, \frac{-3+5}{2}） = （1, 1） \）
3. \（ \vec{AP} = k\vec{PB} \Rightarrow （x-1, y-2） = k（-6-x, 4-y） \）
4. 解方程组得到 x 的值。
5. \（ | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{（2+0）^2 + （-3+5）^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2} \）
以上是平面向量的一些基础知识和应用题目的示例。
