错位相减法是一种常用的数列求和方法，特别适用于等比数列与等差数列相乘的形式。以下是一个具体的例题：
例题
求和 $S_n = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \ldots + （2n-1）x^{n-1}$（其中 $x \neq 0$，$n \in \mathbb{N}^*$）。
解法
写出 $S_n$ 和 $xS_n$ 的表达式
$$
S_n = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \ldots + （2n-1）x^{n-1}
$$
两边同时乘以 $x$，得到：
$$
xS_n = x + 3x^2 + 5x^3 + 7x^4 + \ldots + （2n-1）x^n
$$
相减得到 $（1-x）S_n$ 的表达式
$$
（1-x）S_n = 1 + 2x（1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{n-2}） - （2n-1）x^n
$$
注意到 $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{n-2}$ 是一个等比数列的前 $n-2$ 项和，其和为：
$$
\frac{1 - x^{n-1}}{1 - x}
$$
因此，上式可化简为：
$$
（1-x）S_n = 1 + 2x \cdot \frac{1 - x^{n-1}}{1 - x} - （2n-1）x^n
$$
$$
（1-x）S_n = 1 + 2（1 - x^{n-1}） - （2n-1）x^n
$$
$$
（1-x）S_n = 1 + 2 - 2x^{n-1} - （2n-1）x^n
$$
$$
（1-x）S_n = 3 - （2n+1）x^n
$$
解出 $S_n$
$$
S_n = \frac{3 - （2n+1）x^n}{1-x}
$$
$$
S_n = \frac{3}{1-x} - \frac{（2n+1）x^n}{1-x}
$$
$$
S_n = \frac{3}{1-x} - \frac{2n+1}{1-x}x^n
$$
总结
通过错位相减法，我们得到了 $S_n$ 的表达式为：
$$
S_n = \frac{3}{1-x} - \frac{2n+1}{1-x}x^n
$$
这种方法适用于等比数列与等差数列相乘的求和问题，通过乘以公比并错位相减，可以转化为更容易求解的形式。
