30度直角三角形的边长公式如下：
边长比例关系
30度角所对的直角边长是斜边长的一半，即 $a = \frac{c}{2}$。
斜边与30度角所对的直角边的比例是 $2:1$，与60度角所对的直角边的比例是 $\sqrt{3}:1$。因此，三边比例关系为 $1:\sqrt{3}:2$。
勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即 $a^2 + b^2 = c^2$。由于30度角所对的直角边是斜边的一半，可以设 $a = \frac{c}{2}$，则 $b = \frac{\sqrt{3}c}{2}$。代入勾股定理得：
$$
\left（\frac{c}{2}\right）^2 + \left（\frac{\sqrt{3}c}{2}\right）^2 = c^2
$$
$$
\frac{c^2}{4} + \frac{3c^2}{4} = c^2
$$
$$
c^2 = c^2
$$
这个公式验证了30度直角三角形边长关系的正确性。
余弦定理
如果已知一直角边和一个角度（例如30度），可以使用余弦定理求另一直角边或斜边。余弦定理公式为：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos（C）
$$
对于30度直角三角形，设30度角所对的直角边为 $a$，斜边为 $c$，则：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos（30^\circ）
$$
由于 $\cos（30^\circ） = \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
c^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab
$$
这个公式在已知一边和角度时非常有用。
总结：
30度直角三角形的三边比例关系为 $1:\sqrt{3}:2$。
勾股定理表达式为 $a^2 + b^2 = c^2$，其中 $a = \frac{c}{2}$，$b = \frac{\sqrt{3}c}{2}$。
余弦定理表达式为 $c^2 = a^2 + b^2 - \sqrt{3}ab$，适用于已知一边和角度的情况。
