向量的数量积（又称点积）是一种在向量空间中定义的二元运算，其结果是一个实数。对于两个非零向量 a和 b，它们的数量积定义为：
\[ a \cdot b = |a| \times |b| \times \cos \theta \]
其中：
\（ |a| \） 和 \（ |b| \） 分别是向量 a和 b的模（长度）。
\（ \theta \） 是向量 a和 b之间的夹角，取值范围是 \（ 0 \leq \theta \leq \pi \）。
数量积的几何意义是：向量 a在向量 b方向上的投影与向量 b在向量 a方向上的投影的乘积。具体地，如果向量 a和 b的坐标分别是 \（ （a_1, a_2, \ldots, a_n） \） 和 \（ （b_1, b_2, \ldots, b_n） \），则它们的数量积可以表示为：
\[ a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n \]
此外，数量积具有以下性质：
交换律：
\（ a \cdot b = b \cdot a \）
分配律：
\（ a \cdot （b + c） = a \cdot b + a \cdot c \）
数乘的结合律：
\（ （\lambda a） \cdot b = \lambda （a \cdot b） \）
零向量性质：
\（ \mathbf{0} \cdot \mathbf{a} = 0 \）
自身数量积：
\（ a \cdot a = |a|^2 \）
垂直性质：
如果 \（ a \perp b \），则 \（ a \cdot b = 0 \）
这些性质使得数量积在向量运算和几何问题中非常有用，例如在计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直、以及求解向量的投影等。
