二阶微分方程的通解公式根据其类型（齐次或非齐次）和特征根的情况有所不同。以下是几种常见情况的通解公式：
二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程为：λ^2 + pλ + q = 0。
根据特征方程的根（r1, r2）情况，通解公式如下：
两个不相等的实根：y = C1e^（r1x） + C2e^（r2x）
两根相等的实根：y = （C1 + C2x）e^（r1x）
一对共轭复根：r1 = α + iβ, r2 = α - iβ，则 y = e^（αx）（C1cosβx + C2sinβx）
二阶常系数非齐次线性微分方程
一般形式为：y'' + py' + qy = f（x），其中f（x）是定义在区间I上的连续函数。
特解形式取决于非齐次项f（x）的形式，常见的特解形式有：
e^（mx） 形式的特解，适用于 Ay'' + By' + Cy = e^mx
a*sinx + b*cosx 形式的特解，适用于 Ay'' + By' + Cy = a*sinx + b*cosx
mx + n 形式的特解，适用于 Ay'' + By' + Cy = mx + n
示例
对于二阶常系数齐次线性微分方程 2y'' + y' - y = 0，其特征方程为 λ^2 + λ - 1 = 0，解得 λ1 = 0.5, λ2 = -1。因此，通解为：
y = C1e^（0.5x） + C2e^（-x）
对于二阶常系数非齐次线性微分方程 2y'' + y' - y = e^x，其特解形式为 y* = Ae^x，代入原方程得 A（2e^x + e^x - e^x） = e^x，解得 A = 1/2。因此，特解为 y* = （1/2）e^x，通解为：
y = C1e^（0.5x） + C2e^（-x） + （1/2）e^x
建议
在实际应用中，首先要确定微分方程的类型（齐次或非齐次），然后根据特征方程的根的情况选择合适的通解公式，并考虑非齐次项的形式选择特解形式。通过这些步骤，可以系统地求解二阶微分方程。
