极限运算法则包括以下几类：
四则运算法则
加法：$\lim （f（x） + g（x）） = \lim f（x） + \lim g（x）$
减法：$\lim （f（x） - g（x）） = \lim f（x） - \lim g（x）$
乘法：$\lim （f（x） \cdot g（x）） = \lim f（x） \cdot \lim g（x）$
除法：$\lim \left（\frac{f（x）}{g（x）}\right） = \frac{\lim f（x）}{\lim g（x）}$，其中 $\lim g（x） \neq 0$
幂运算：$\lim （f（x）^n） = （\lim f（x））^n$，其中 $n$ 为正整数
复合运算法则
设 $f（x）$ 和 $g（x）$ 是两个函数，若 $f（x）$ 在点 $a$ 的某去心邻域内有定义，$g（x）$ 在点 $f（a）$ 的某去心邻域内有定义，且 $\lim_{x \to a} f（x） = A$，$\lim_{x \to A} g（x） = B$ 存在，则 $\lim_{x \to a} [f（x） \cdot g（x）] = A \cdot B$。
极限的换元法则
在求极限时，可以通过换元法简化复杂的极限表达式，例如设 $t = g（x）$，则 $\lim_{x \to a} f（g（x）） = \lim_{t \to B} f（t）$，前提是 $g（x）$ 在 $x \to a$ 时单调且连续，且 $\lim_{x \to a} g（x） = B$ 存在。
夹逼准则
如果数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 及 $\{c_n\}$ 满足以下条件：
从某项起，即 $n > N$ 时，有 $a_n \leq b_n \leq c_n$
$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$
那么数列 $\{b_n\}$ 的极限存在，且 $\lim_{n \to \infty} b_n = L$。
单调有界准则
单调递增有上界或单调递减有下界的数列必有极限。
重要极限
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} （1 + x）^{\frac{1}{x}} = e$
这些运算法则和准则为求极限提供了系统的处理方法，可以帮助解决各种复杂的极限问题。在使用这些法则时，需要注意定义域、连续性、单调性等基础概念，以确保计算结果的正确性。
