线性回归的计算公式主要分为一元线性回归和多元线性回归两种。
一元线性回归
对于一元线性回归，其计算公式如下：
斜率 m
\[
m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - （\sum x）^2}
\]
其中，\（ n \） 是样本数量，\（ \sum xy \） 是所有预测变量与随机误差的乘积之和，\（ \sum x \） 和 \（ \sum y \） 分别是预测变量和随机误差的和，\（ \sum x^2 \） 是预测变量的平方和。
截距 b
\[
b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}
\]
多元线性回归
对于多元线性回归，其计算公式如下：
斜率 w （权重）：\[
w = \frac{\sum （x_i - \bar{x}）（y_i - \bar{y}）}{\sum （x_i - \bar{x}）^2}
\]
其中，\（ x_i \） 和 \（ y_i \） 分别是第 \（ i \） 个样本的预测变量和随机误差，\（ \bar{x} \） 和 \（ \bar{y} \） 分别是预测变量和随机误差的平均值。
截距 b
（偏置）：
\[
b = \bar{y} - w\bar{x}
\]
示例
假设我们有一组数据 \（ （x_1, y_1）, （x_2, y_2）, \ldots, （x_n, y_n） \），则一元线性回归的斜率 \（ m \） 和截距 \（ b \） 可以通过以下公式计算：
计算斜率 m
\[
m = \frac{n\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{i=1}^{n} y_i}{n\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - （\sum_{i=1}^{n} x_i）^2}
\]
计算截距 b
\[
b = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i - m\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
注意事项
在实际应用中，为了简化计算，有时会对公式进行变形，例如将公式写作 \（ y = w_0 + w_1 x \） 的形式，其中 \（ w_0 \） 是截距，\（ w_1 \） 是斜率。
在多元线性回归中，还可以引入正则化项（如岭回归或LASSO回归）来防止过拟合。
