普通年金现值（PA）是指一系列等额、定期的收付款项在当期期初的现值之和。假设每期期末收付的年金数额为A，利率为i，计息期数为n，则普通年金现值的计算公式可以通过以下步骤推导得出：
年金现值公式的直接表达
普通年金现值PA可以表示为：
\[
PA = \frac{A}{1+i} + \frac{A}{（1+i）^2} + \frac{A}{（1+i）^3} + \ldots + \frac{A}{（1+i）^n}
\]
等比数列求和公式
上述公式是一个等比数列的求和公式，其中首项为 \（\frac{A}{1+i}\），公比为 \（\frac{1}{1+i}\），项数为n。等比数列求和公式为：
\[
S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}
\]
其中，a是首项，r是公比，n是项数。
代入具体值
将上述公式中的a、r和n代入，得到：
\[
PA = A \frac{1 - \left（\frac{1+i}{1+i}\right）^n}{1 - \frac{1+i}{1+i}}
\]
简化分母：
\[
PA = A \frac{1 - （1+i）^n}{1 - 1}
\]
由于分母为0，上述公式需要调整。注意到1 - （1+i）^n可以写成（1+i）的幂次形式：
\[
1 - （1+i）^n = -（ （1+i）^n - 1 ）
\]
因此：
\[
PA = A \frac{-（ （1+i）^n - 1 ）}{i}
\]
进一步简化：
\[
PA = A \frac{1 - （1+i）^n}{i}
\]
最终公式
最终，普通年金现值的公式为：
\[
PA = A \left[ \frac{1 - （1+i）^n}{i} \right]
\]
其中：
A为年金数额
i为利息率
n为计息期数
这个公式用于计算一系列等额、定期的收付款项在当期期初的现值之和。通过等比数列求和的方法，我们得到了普通年金现值的推导过程。
