牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula）是微积分学中的一个基本定理，它建立了定积分与其原函数（不定积分）之间的联系。公式表述如下：
如果函数 \（ f（x） \） 在区间 \（[a, b]\） 上连续，并且存在原函数 \（ F（x） \），则 \（ f（x） \） 在 \（[a, b]\） 上可积，并且有：
\[
\int_{a}^{b} f（x） \, dx = F（b） - F（a）
\]
这个公式表明，一个连续函数在某个区间上的定积分，等于它的任意一个原函数在该区间上的增量。这个发现不仅为计算提供了极大的便利，也为后来的数学分析奠定了基础。
公式推导
牛顿-莱布尼茨公式的推导可以从多个角度进行，以下是其中两种常见的推导方法：
方法一：变上限积分函数
定义一个变上限积分函数：
\[
\Phi（x） = \int_{a}^{x} f（t） \, dt
\]
则 \（ \Phi（x） \） 的导数 \（ \Phi'（x） \） 为：
\[
\Phi'（x） = f（x）
\]
根据微积分基本定理，当 \（ x \） 从 \（ a \） 变到 \（ b \） 时，有：
\[
\Phi（b） - \Phi（a） = \int_{a}^{b} f（x） \, dx
\]
由于 \（ \Phi（a） = 0 \），因此：
\[
\int_{a}^{b} f（x） \, dx = \Phi（b） = F（b） - F（a）
\]
方法二：分割与拉格朗日中值定理
将积分区间 \（[a, b]\） 等分成 \（ n \） 个小区间，每个小区间的长度为 \（ \Delta x = \frac{b - a}{n} \）。对于每个小区间 \（ [x_{i-1}, x_i] \），存在 \（ \xi_i \in [x_{i-1}, x_i] \），使得：
\[
\int_{x_{i-1}}^{x_i} f（x） \, dx = f（\xi_i） \Delta x
\]
因此，整个区间上的定积分可以表示为：
\[
\int_{a}^{b} f（x） \, dx = \sum_{i=1}^{n} f（\xi_i） \Delta x
\]
当 \（ n \） 趋向于无穷大时，利用拉格朗日中值定理，存在 \（ \xi \in [a, b] \），使得：
\[
\int_{a}^{b} f（x） \, dx = f（\xi） （b - a）
\]
由于 \（ f（x） \） 在 \（[a, b]\） 上连续，存在原函数 \（ F（x） \），使得 \（ F'（x） = f（x） \），因此：
\[
f（\xi） = F'（\xi）
\]
从而：
\[
\int_{a}^{b} f（x） \, dx = F（b） - F（a）
\]
应用
牛顿-莱布尼茨公式在微积分学中有广泛的应用，例如：
1. 计算曲线下的面积。
2. 计算物理学中的能量、质量等的积分。
3. 求解函数的平均值、最大值、最小值等统计量。
4. 求解函数的不定积分和定积分问题。
5. 推广到多元函数、向量场等更复杂的情形。
这个公式是微积分学中的基石之一，对于理解和应用微积分的基本概念具有重要意义。
