曲率半径的公式为：
\[ \rho = \frac{|（1 + y'^2）^{\frac{3}{2}}}{y''}| \]
其中：
\（ \rho \） 是曲率半径
\（ y' \） 是曲线在一点的斜率
\（ y'' \） 是曲线在该点的二阶导数
这个公式用于计算平面曲线在任意一点的曲率半径，其中 \（ y' \） 和 \（ y'' \） 可以通过曲线的隐函数或显函数求导得到。
此外，曲率的定义为：
\[ K = \frac{d\alpha}{ds} \]
曲率半径是曲率的倒数，即：
\[ R = \frac{1}{K} \]
这个公式表明曲率半径越大，曲线的弯曲程度越小；曲率半径越小，曲线的弯曲程度越大。
对于极坐标表示的曲线 \（ r = f（\theta） \），曲率半径的公式为：
\[ R = \frac{[r^2 + （\frac{dr}{d\theta}）^2]^{\frac{3}{2}}}{|r^2 + 2（\frac{dr}{d\theta}）^2 - r（\frac{d^2r}{d\theta^2}）|} \]
其中：
\（ \frac{dr}{d\theta} \） 是曲线在该点的极坐标方程对应的斜率
\（ \frac{d^2r}{d\theta^2} \） 是曲线在该点的极坐标方程对应的二阶导数。
这些公式在微分几何、力学和物理学中有着广泛的应用，用于描述和分析曲线的弯曲特性。
