错位相减法是一种常用的数列求和方法，特别适用于等差数列与等比数列相乘构成的数列求和。以下是一些经典例题：
例1：求和 \（ S_n = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \ldots + （2n-1）x^{n-1} \） （其中 \（ x
eq 0 \），\（ n \in \mathbb{N}^* \））
当 \（ x = 1 \） 时，
\[ S_n = 1 + 3 + 5 + \ldots + （2n-1） = n^2 \]
当 \（ x
eq 1 \） 时，
\[ S_n = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \ldots + （2n-1）x^{n-1} \]
乘以 \（ x \） 得：
\[ xS_n = x + 3x^2 + 5x^3 + 7x^4 + \ldots + （2n-1）x^n \]
两式相减得：
\[ （1-x）S_n = 1 + 2（x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{n-1}） - （2n-1）x^n \]
化简得：
\[ S_n = \frac{x + （2n-1）x^n}{1-x} - \frac{2n+1}{1-x}x^n \]
\[ S_n = \frac{x - （2n+1）x^{n+1} + （2n-1）x^n}{（1-x）^2} \]
\[ S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^n} - \frac{1}{1-x}x^n \]
例2：求和 \（ S_n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2012} \）
令 \（ S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2012} \），则 \（ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2013} \）
两式相减得：
\[ 2S - S = 2^{2013} - 1 \]
\[ S = 2^{2013} - 1 \]
例3：求和 \（ 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2012} \）
令 \（ S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2012} \），则 \（ 5S = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2013} \）
两式相减得：
\[ 5S - S = 5^{2013} - 1 \]
\[ 4S = 5^{2013} - 1 \]
\[ S = \frac{5^{2013} - 1}{4} \]
例4：求和 \（ S_n = a + 2a^2 + 3a^3 + \ldots + na^n \） （其中 \（ a
eq 0 \），\（ n \in \mathbb{N}^* \））
当 \（ a = 1 \） 时，
\[ S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n（n+1）}{2} \]
当 \（ a
eq 1 \） 时，
\[ S_n = a + 2a^2 + 3a^3 + \ldots + na^n \]
乘以 \（ a \） 得：
\[ aS_n = a^2 + 2a^3 + 3a^4 + \ldots + na^{n+1} \]
两式相减得：
\[ （1-a）S_n = a + a^2 + a^3 + \ldots + a^n - na^{n+1} \]
\[ （1-a）S_n = a\frac{1-a^n}{1-a} -
