向量叉积（也称为外积或向量积）的运算法则如下：
反交换律
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}
$$
加法的分配律
$$
\mathbf{a} \times （\mathbf{b} + \mathbf{c}） = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}
$$
与标量乘法兼容
$$
r（\mathbf{a} \times \mathbf{b}） = （\mathbf{r} \cdot \mathbf{a}） \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times （\mathbf{r} \cdot \mathbf{b}）
$$
不满足结合律，但满足雅可比恒等式
$$
\mathbf{a} \times （\mathbf{b} \times \mathbf{c}） + \mathbf{b} \times （\mathbf{c} \times \mathbf{a}） + \mathbf{c} \times （\mathbf{a} \times \mathbf{b}） = \mathbf{0}
$$
两个非零向量平行的条件
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} \quad \text{当且仅当} \quad \mathbf{a} \parallel \mathbf{b}
$$
叉积的模长
$$
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta
$$
其中，$\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。
叉积的方向
叉积的结果向量垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所构成的平面，并且其方向由右手定则确定。具体地，将右手的四指从 $\mathbf{a}$ 的方向开始，经过 $\mathbf{b}$ 的方向，大拇指所指的方向即为 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的方向。
坐标表示
如果 $\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）$ 和 $\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）$，则
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = （a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1）
$$
这些法则构成了向量叉积的基本定义和运算规则，广泛应用于几何、物理和工程领域。
