基本不等式在求最值问题中非常有用，尤其是当需要找到函数的最大值或最小值时。以下是一些基本不等式及其在求最值中的应用：
算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）
对于任意正实数 \（a_1, a_2, \ldots, a_n\），有：
```
\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}
```
等号成立当且仅当所有 \（a_i\） 相等，即 \（a_1 = a_2 = \ldots = a_n\）。
求和的最小值
如果求和中的项是相同的，即 \（a_1 = a_2 = \ldots = a_n\），则：
```
a + b + \ldots + a_n \geq n \cdot \sqrt[n]{a \cdot b \cdot \ldots \cdot a_n}
```
等号成立当且仅当所有项相等。
求积的最大值
对于正实数 \（a\） 和 \（b\），有：
```
ab \leq \left（\frac{a + b}{2}\right）^2
```
等号成立当且仅当 \（a = b\）。
求和的最小值（另一个形式）：
```
a + b \geq 2\sqrt{ab}
```
等号成立当且仅当 \（a = b\）。
求积的最大值（另一个形式）：
```
ab \leq \left（\frac{a + b}{2}\right）^2
```
等号成立当且仅当 \（a = b\）。
在应用这些不等式时，需要注意它们的应用前提，通常称为“一正二定三相等”，即所有项都是正数，项数是确定的，且所有项相等时等号成立。
这些不等式是数学中非常重要的工具，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值，尤其是在处理优化问题时。
