微分方程的通解通常包含一个或多个任意常数，这些常数由微分方程的初始条件或边界条件确定。以下是几种常见的微分方程通解的形式：
一阶线性微分方程
通解形式： \（ y = Ce^{rx} + y_p \）
其中\（ C \） 是任意常数，\（ r \） 是特征方程的根，\（ y_p \） 是特解。
二阶常系数齐次线性微分方程
通解形式： \（ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \）
其中\（ C_1 \） 和 \（ C_2 \） 是任意常数，\（ r_1 \） 和 \（ r_2 \） 是特征方程的根。
二阶常系数非齐次线性微分方程
通解形式： \（ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + y_p \）
其中\（ C_1 \） 和 \（ C_2 \） 是任意常数，\（ r_1 \） 和 \（ r_2 \） 是特征方程的根，\（ y_p \） 是特解。
高阶线性微分方程
通解形式： \（ y = C_1 y_1（x） + C_2 y_2（x） + \cdots + C_n y_n（x） \）
其中\（ C_1, C_2, \ldots, C_n \） 是任意常数，\（ y_1（x）, y_2（x）, \ldots, y_n（x） \） 是线性无关的特解。
具体例子
对于方程 \（ （1+y）dx - （1-x）dy = 0 \）
通解： \（ x - y + xy = C \）
对于二阶常系数齐次线性微分方程 \（ y'' + ay' + by = 0 \）
通解： \（ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \）
其中\（ r_1, r_2 \） 是特征方程 \（ r^2 + ar + b = 0 \） 的根。
对于一阶非齐次线性微分方程 \（ y' + p（x）y = q（x） \）
通解： \（ y = e^{-\int p（x） dx} \left（ \int q（x） e^{\int p（x） dx} dx + C \right） \）
求解步骤
确定微分方程的类型（齐次或非齐次）。
求特征方程（对于齐次方程）或特解（对于非齐次方程）。
求通解，根据方程类型和求解结果组合得到。
确定任意常数的值，使用初始条件或边界条件。
这些步骤可以帮助你找到微分方程的通解，并进一步分析其性质。
