向量的投影是一个线性代数概念，它描述了一个向量在另一个向量方向上的映射。具体来说，向量a在向量b上的投影是一个新的向量c，它与向量b共线，并且方向取决于向量a与向量b之间的夹角θ。
向量a在向量b上的投影长度可以通过以下公式计算：
\[ \text{proj}_{b} \mathbf{a} = \mathbf{a} \cdot \frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \]
其中，\（ \mathbf{a} \） 和 \（ \mathbf{b} \） 是两个非零向量，\（ \cdot \） 表示点积，\（ \frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \） 是向量 \（ \mathbf{b} \） 的单位向量。
投影向量 \（ \text{proj}_{b} \mathbf{a} \） 的长度等于 \（ \mathbf{a} \） 在 \（ \mathbf{b} \） 方向上的分量，其方向与 \（ \mathbf{b} \） 相同。
如果 \（ \theta \） 是锐角，则投影向量的长度为正；如果 \（ \theta \） 是直角，则长度为0；如果 \（ \theta \） 是钝角，则长度为负。
投影向量在计算矢量加法、内积等运算时非常有用。
