超几何分布是一种离散概率分布，用于描述从有限个物件中不放回地抽取n个物件时，成功抽出指定种类的物件的次数。该分布与“超几何函数”的级数展式的系数有关，因此得名。超几何分布的参数包括总体容量N、抽取样本数n和指定种类的物件数M。
超几何分布的概率质量函数（probability mass function, PMF）为：
\[ P（X = k） = \frac{{C（M, k） \cdot C（N - M, n - k）}}{{C（N, n）}} \]
其中，\（ C（a, b） \） 表示从a个物件中选取b个物件的组合数，即 \（ C（a, b） = \frac{a!}{b! \cdot （a - b）!} \）。
超几何分布的期望值（mean）和方差（variance）分别为：
\[ E（X） = \frac{n \cdot M}{N} \]
\[ \text{Var}（X） = \frac{n \cdot M \cdot （N - M） \cdot （N - n）}{N^2 \cdot （N - 1）} \]
超几何分布适用于不放回抽样的情况，例如从含有M个次品的N个产品中随机抽取n件产品，求其中恰有k件次品的概率。
应用场景
超几何分布常用于以下场景：
产品质量控制：
从一批产品中随机抽取样本，检测其中不合格品的数量。
医学研究：
从患者群体中随机抽取样本，检测其中某种疾病的患病率。
抽样检验：
从总体中随机抽取样本，进行统计检验。
示例
假设有100颗球，其中20颗为红球，80颗为白球。从中不放回地拿出10个球，求其中恰有k颗红球的概率。这里，N=100，M=20，n=10，超几何分布的参数为X~H（100, 10, 20）。
总结
超几何分布是一种重要的离散概率分布，适用于描述不放回抽样中成功事件出现的概率。其概率质量函数、期望值和方差都有明确的数学表达式，广泛应用于统计学、医学、质量控制等领域。
