函数的单调性是指函数在其定义域的某个区间内，函数值随自变量的增大而增大（单调递增），或随自变量的增大而减小（单调递减）的性质。具体来说，若对于定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f（x_1） \leq f（x_2）$（单调递增），或者$f（x_1） \geq f（x_2）$（单调递减），则称函数在该区间上具有单调性。
判断函数单调性的方法主要有以下几种：
导数法
利用导数的正负性来判断函数的单调性。若函数的导函数在某区间内非负（非正），则函数在该区间内单调不降（不增）；若导函数在某区间内为正（负），则函数在该区间内单调递增（递减）。
定义法
根据函数单调性的定义，如果在某区间内，对于任意的$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f（x_1） \leq f（x_2）$（单调递增）或$f（x_1） \geq f（x_2）$（单调递减），则称函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
图像法
通过观察函数图像的上升或下降趋势来判断函数的单调性。如果图像在某区间内一直上升（或下降），则函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
复合函数同增异减法
对于复合函数$f[g（x）]$，其单调性取决于内层函数$g（x）$和外层函数$f（x）$的单调性。若内层函数和外层函数单调性相同，则复合函数单调递增；若内层函数和外层函数单调性相反，则复合函数单调递减。
示例
设函数$f（x） = x^2$，在区间$（-\infty, 0）$上，任取$x_1, x_2$，且$x_1 < x_2 < 0$，则有$f（x_1） = x_1^2 > x_2^2 = f（x_2）$，因此$f（x）$在区间$（-\infty, 0）$上单调递减。
建议
在实际应用中，可以根据函数的类型和已知条件选择合适的方法来判断其单调性。
对于复杂的函数，可以综合运用多种方法进行判断。
注意函数单调性的定义域，确保在正确的区间内讨论其单调性。
