伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间存在一定的关系。以下是伴随矩阵特征值的一些关键性质：
行列式关系
伴随矩阵的行列式值是原矩阵行列式值的 \（ （n-1） \） 次方，即 \（ |A^*| = |A|^{n-1} \），其中 \（ n \） 是矩阵的阶数。
特征值关系
如果 \（ \lambda \） 是矩阵 \（ A \） 的一个特征值，且 \（ \alpha \） 是对应的特征向量，即 \（ A\alpha = \lambda\alpha \），那么伴随矩阵 \（ A^* \） 的一个特征值为 \（ \frac{|A|}{\lambda} \）。这是因为 \（ A^*A = |A|E \），所以 \（ A^*\alpha = \frac{|A|}{\lambda}\alpha \）。
特征向量关系
如果 \（ \alpha \） 是 \（ A \） 的属于特征值 \（ \lambda \） 的特征向量，那么它也是 \（ A^* \） 的属于特征值 \（ \frac{|A|}{\lambda} \） 的特征向量。
特殊情况
如果矩阵 \（ A \） 是可逆的，那么 \（ A^* \） 的所有特征值都是 \（ \frac{|A|}{\lambda_i} \），其中 \（ \lambda_i \） 是 \（ A \） 的特征值。
如果矩阵 \（ A \） 不可逆，那么 \（ A^* \） 的特征值中至少包含一个零，因为 \（ A^*A = |A|E \），当 \（ A \） 不可逆时，\（ |A| = 0 \）。
秩与特征值
如果矩阵 \（ A \） 的秩 \（ r（A） = n-1 \），那么 \（ A^* \） 的所有特征值都是非零的，并且可以通过原矩阵的特征值计算得出。
如果矩阵 \（ A \） 的秩 \（ r（A） < n-1 \），那么 \（ A^* \） 是零矩阵，因此它的所有特征值都是零。
结论
伴随矩阵的特征值可以通过原矩阵的特征值计算得出，具体公式为 \（ \frac{|A|}{\lambda} \），其中 \（ \lambda \） 是原矩阵的特征值。如果矩阵可逆，所有特征值都是非零的；如果矩阵不可逆，至少有一个特征值是零。
