角平分线定理的证明可以通过多种方法进行，以下是几种常见的证明方法：
方法一：构造法
构造等腰三角形
已知AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。
由于AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD。
由于DB⊥AB和DC⊥AC，垂足分别为B和C，所以∠ABD=∠ACD=90°。
又因为AD=AD，所以△ABD≌△ACD。
根据全等三角形的性质，CD=BD。
方法二：面积法
利用面积相等
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB和AC于点E和F。
过点A作AG⊥BC于点G。
三角形ABM的面积S₁=（1/2）×AB×AM×sin∠BAM，三角形ACM的面积S₂=（1/2）×AC×AM×sin∠CAM。
由于S₁:S₂=AB:AC，且三角形ABM和ACM等高，所以底边BM:CM=AB:AC。
因此，AB/AC=MB/MC。
方法三：相似三角形法
利用相似三角形的性质
过点C作CE//DA，延长BA交于点E。
由于CE//DA，所以∠DCE=∠DAC，∠ECB=∠BAC。
因此，△DEC≌△ADC（AA相似）。
所以，DE=CD。
另一种相似三角形法
过点C作CE//AB，延长AD交于点E。
由于CE//AB，所以∠DCE=∠BAC，∠ECB=∠DAC。
因此，△DEC≌△ADC（AA相似）。
所以，DE=CD。
方法四：正弦定理法
利用正弦定理
作三角形的外接圆，AM交圆于点D。
由正弦定理，得AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM，AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM。
由于∠BAM=∠CAM，所以sin∠BMA=sin∠AMC。
因此，AB/AC=BM/CM。
结论
角平分线定理的证明可以通过构造法、面积法、相似三角形法和正弦定理法等多种方法进行。每种方法都有其独特的思路和步骤，但都能够达到证明的目的。建议选择适合自己理解能力的方法进行证明。
