施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。给定一个线性无关的向量组 {v1, v2, ..., vn}，施密特正交化过程的目标是将这些向量转换为一组两两正交的向量组 {u1, u2, ..., un}，其中每个 ui 都是 vi 减去它与前面所有向量 ui 的点积与 ui 的模的平方的商。
施密特正交化公式的详细步骤如下：
初始化
设初始向量组为 {v1, v2, ..., vn}。
令 u1 = v1。
正交化过程
对于每一个 i = 2, 3, ..., n：
令 tmp = vi。
对于每一个 j = 1, 2, ..., i-1：
计算投影系数 coef = （vi · uj） / （uj · uj）。
更新 tmp = tmp - coef * uj。
将 tmp 设为正交化后的基向量 ui，即 ui = tmp。
单位化
将每个正交化后的向量 ui 除以其模的平方，得到标准正交向量组 {e1, e2, ..., en}，其中 ei = ui / ||ui||^2。
通过以上步骤，施密特正交化方法能够将一组线性无关的向量组转换为一组标准正交向量组，这在线性代数和许多其他数学领域中都有广泛应用。
示例
假设我们有一个线性无关的向量组 {v1, v2, v3}，其具体数值为：
v1 = （1, 0, 0）
v2 = （0, 1, 0）
v3 = （0, 0, 1）
应用施密特正交化公式：
初始化
u1 = v1 = （1, 0, 0）
正交化过程
i = 2：
tmp = v2 = （0, 1, 0）
coef = （v2 · u1） / （u1 · u1） = （0, 1, 0） / （1, 1, 0） = （0, 1, 0）
tmp = v2 - coef * u1 = （0, 1, 0） - （0, 1, 0） * （1, 0, 0） = （0, 0, 0）
ui = tmp = （0, 0, 0）
i = 3：
tmp = v3 = （0, 0, 1）
coef1 = （v3 · u1） / （u1 · u1） = （0, 0, 1） / （1, 1, 0） = （0, 0, 1）
coef2 = （v3 · u2） / （u2 · u2） = （0, 0, 1） / （0, 1, 0） = （0, 0, 1）
tmp = v3 - coef1 * u1 - coef2 * u2 = （0, 0, 1） - （0, 0, 1） * （1, 0, 0） - （0, 0, 1） * （0, 1, 0） = （0, 0, 0）
ui = tmp = （0, 0, 0）
单位化
由于所有得到的 ui 都是零向量，无法进行单位化。
在这个例子中，由于向量组 {v1, v2, v3} 本身就是正交的，所以经过施密特正交化后得到的仍然是 {v1, v2, v3}。
建议
在实际应用中，如果初始向量组已经接近正交，施密特正交化的效果会更好。此外，对于高维向量组，施密特正交化可能会导致计算量较大，此时可以考虑使用其他正交化方法，如Gram-Schmidt正交化。
