向量的点乘，也称为内积或数量积，是一种在向量空间中定义的二元运算，其结果是一个标量。对于两个向量 a和 b，它们的点乘定义为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta
\]
其中：
\（\|\mathbf{a}\|\） 和 \（\|\mathbf{b}\|\） 分别是向量 a和 b的模（长度）。
\（\theta\） 是向量 a和 b之间的夹角，取值范围是 \（[0, \pi]\）。
点乘的几何意义是计算向量 a在向量 b上的投影长度，并将这个长度乘以向量 b的模长。具体来说，点乘结果越大，两个向量越相近；如果点乘结果为0，则两个向量垂直。
此外，点乘还可以通过向量的坐标来计算。对于二维向量 \（\mathbf{a} = （a_1, a_2）\） 和 \（\mathbf{b} = （b_1, b_2）\），点乘公式为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
\]
对于三维向量 \（\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）\） 和 \（\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）\），点乘公式为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\]
点乘在数学和物理学中有广泛的应用，例如计算向量的夹角、判断向量的垂直关系、以及在计算机图形学中用于光照模型和法线映射等。
