二阶偏导数的求法可以分为以下步骤：
求一阶偏导数
设二元函数为 $z = f（x, y）$，首先求该函数关于 $x$ 的一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$，记作 $f'_x（x, y）$。
同样地，求该函数关于 $y$ 的一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$，记作 $f'_y（x, y）$。
求二阶偏导数
对 $x$ 的二阶偏导数：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left（ \frac{\partial z}{\partial x} \right） = \frac{\partial f'_x（x, y）}{\partial x}$。
对 $y$ 的二阶偏导数：$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left（ \frac{\partial z}{\partial y} \right） = \frac{\partial f'_y（x, y）}{\partial y}$。
混合偏导数：
先对 $x$ 求导再对 $y$ 求导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left（ \frac{\partial z}{\partial x} \right） = \frac{\partial f'_x（x, y）}{\partial y}$。
先对 $y$ 求导再对 $x$ 求导：$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left（ \frac{\partial z}{\partial y} \right） = \frac{\partial f'_y（x, y）}{\partial x}$。
示例
设二元函数 $z = f（x, y） = \sin\left（\frac{x}{y}\right）$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$。
求一阶偏导数
$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos\left（\frac{x}{y}\right） \cdot \frac{1}{y}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin\left（\frac{x}{y}\right） \cdot \frac{x}{y^2}$
求二阶偏导数
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left（ \frac{\cos\left（\frac{x}{y}\right）}{y} \right） = -\sin\left（\frac{x}{y}\right） \cdot \frac{1}{y^2} - \cos\left（\frac{x}{y}\right） \cdot \frac{1}{y^2}$
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left（ -\sin\left（\frac{x}{y}\right） \cdot \frac{x}{y^2} \right） = \cos\left（\frac{x}{y}\right） \cdot \frac{x}{y^3} - 2\sin\left（\frac{x}{y}\right） \cdot \frac{x}{y^3}$
总结
通过以上步骤，我们可以求出二元函数 $z = f（x, y）$ 的二阶偏导数。关键在于先求出函数的一阶偏导数，然后利用一阶偏导数再求出二阶偏导数。对于混合偏导数，可以先对其中一个变量求导，再对另一个变量求导，结果是一样的。
