公约数和公倍数是数学中关于整数的重要概念。以下是它们的定义和性质：
公约数
定义：能够整除给定整数的整数称为该整数的约数。如果多个整数都能整除一个数，那么这些整数就称为这个数的公约数。公约数中最大的一个称为最大公约数。
性质：任何两个整数的公约数必然也是它们最大公约数的约数。1是所有整数的公约数，且是最大的公约数。
公倍数
定义：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就称为它们的公倍数。公倍数中最小的一个（零除外）称为这些数的最小公倍数。
性质：任何两个整数的公倍数必然也是它们最小公倍数的倍数。两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，即 \（ x \times y = \text{lcm}（x, y） \times \text{gcd}（x, y） \） 。
示例
公约数示例：
12和16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，记为 \（\text{gcd}（12, 16） = 4\）。
12、15和18的最大公约数是3，记为 \（\text{gcd}（12, 15, 18） = 3\）。
公倍数示例：
4和6的公倍数有12、24、36等，其中最小的是12，记为 \（\text{lcm}（4, 6） = 12\）。
12、15和18的最小公倍数是180，记为 \（\text{lcm}（12, 15, 18） = 180\）。
计算方法和技巧
求最大公约数（GCD）：
列举法：列出所有公约数，找出最大的一个。
分解质因数法：将每个数分解成质因数，然后找出共同的质因数并求积。
辗转相除法（欧几里得算法）：通过递归或迭代的方式求两个数的最大公约数。
求最小公倍数（LCM）：
使用公式：\（\text{lcm}（a, b） = \frac{|a \times b|}{\text{gcd}（a, b）}\）。
对于多个数，可以先求前两个数的最小公倍数，再依次求与其他数的最小公倍数。
掌握这些概念和技巧有助于解决涉及整数约数和倍数的问题，提高数学解题能力。
