二次函数的交点式是一种表达形式，用于表示二次函数与x轴的交点。它的演变过程如下：
顶点式
通过配方法将二次函数的一般式转化为完全平方形式，从而得到顶点式。顶点式通常表示为 $y = a（x - h）^2 + k$，其中 $（h, k）$ 是抛物线的顶点坐标。
交点式
如果二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与x轴有两个交点 $（x_1, 0）$ 和 $（x_2, 0）$，则 $x_1$ 和 $x_2$ 是一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）的两个实数根。根据二次方程的根与系数的关系，二次函数可以表示为交点式 $y = a（x - x_1）（x - x_2）$。
推导过程
设二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与x轴有两个交点，即方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个根 $x_1$ 和 $x_2$。
根据韦达定理，有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 和 $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$。
将这些值代入一般式，得到 $y = a（x^2 - （x_1 + x_2）x + x_1 x_2）$。
进一步化简，得到 $y = a（x - x_1）（x - x_2）$。这就是二次函数的交点式。
总结：
顶点式是通过配方法将一般式转化为完全平方形式得到。
交点式是通过将二次函数与x轴的交点视为方程的根，并利用根与系数的关系得到。
交点式在解析几何中非常有用，因为它直接给出了抛物线与x轴交点的信息，并且可以方便地用于进一步的分析或计算。
